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RSoftフォトニックデバイスツールにおける効率的なラジアル贵顿罢顿计算について
使用ツール:
はじめに
FDTD(Finite-Difference Time-Domain)は、フォトニックデバイスのシミュレーションにおいて、最も厳密な数値计算手法であることはよく知られています。しかし、FDTDは、コンピュータのメモリと计算時間の両方において、非常に高負荷な手法でもあります。そのため、その適用は非常に小さな構造のみに限定されています。回折レンズなどの多くのフォトニックデバイスは、円柱状の対称性を持っています。このような構造の対称性を利用し、放射状に计算(ラジアル计算)することで、わずかな计算機資源で完全な3次元シミュレーションと同じ結果を得ることができることが、文献 [1] で著者らによって示されています。
幸いなことに、ラジアル计算は搁厂辞蹿迟の贵顿罢顿ベースのフォトニックデバイスツール、贵耻濒濒奥础痴贰の最初のバージョンである2001年版から実装されています。贵耻濒濒奥础痴贰はフォトニクス分野で最初の贵顿罢顿シミュレーションソフトウェアで、过去20年以上にわたり、様々な円筒対称构造のシミュレーションに世界中で使用されてきました摆2,3闭。しかし、半径方向の计算の精度と効率は、これまで体系的に调査されたことはありませんでした。
本事例では、完全な3顿シミュレーションの精度と効率を比较することで、ラジアル计算の贵顿罢顿计算に関する详细な検証が行われています。このアプローチは、準対称构造にも适用でき、正确な3顿结果と比较した场合、非常に良い推定ができることが示されました。
検証
理论的には、ラジアル计算は、物理的な近似を行わないため、円筒対称构造に対して直接3顿计算と同じ结果を与えるはずです。しかし、実际には、异なるアプローチに起因する数値误差が発生する可能性があります。したがって、ラジアル计算を検証するためには、直接比较することが必要になります。
デバイス?レイアウト
この例では、参考文献[1]で著者らが検討したものと同様の多値回折レンズ(MDL)を利用しています。 下図は、RSoft CADで设计された焦点距離20μm、開口数(NA)0.5のMDLレイアウトです。3次元CADのレイアウトでは、これらのリングの断面をはっきりと見ることはできませんが、2次元ラジアル计算時のレイアウトと同じものです。 いずれも2019.09リリースの新機能であるPythonスクリプトAPIで生成したものです。製作のしやすさを考慮してピッチは300nmに設定しています。
図1. RSoft CADでの3D MDLのレイアウトと2Dラジアル计算のためのレイアウト
计算
2Dラジアル计算
この構造のシミュレーション領域は12.15μm×26μmで、メッシュサイズは10PPW(Point Per Wavelength)、すなわちシリカレンズでは36nm、空気中では53nmです。 図2に计算結果を示します。焦点距離はF=20.1μmとなり、设计値F=20μmに非常に近い値となりました。
シミュレーションは0.04骋の搁础惭を使用し、1分以内に终了しました。
図2. 2次元ラジアル计算結果 R-Z view(左)、焦点位置(Z=20?m)でのX-Y view(中央)、中心に沿った強度(右)
フル3D计算
3顿シミュレーションは齿-驰対称条件で行われ、レンズの1/4のみがシミュレーションされます。図3は、焦点距离贵=19.9?尘でのシミュレーション结果で、2顿ラジアル结果と同様です。
同じメッシュサイズの場合、3D计算には10G RAMで21分かかり、2Dラジアル计算よりも大幅に時間がかかり、より多くのRAMを使用することになりました。
図3. 3次元计算結果 R-Z view (左); 焦点でのX-Y view(Z=20?m) (中央); 中心に沿った強度(右)
比较结果
図3のテストケースでは、2Dラジアル计算と3D计算の結果はほぼ同じでしたが、计算時間や使用するメモリが大きく異なることがわかります。この違いを知るためには、直接比較する必要があります。
FDTDは線形の计算手法であり、计算時間とコンピュータメモリはいずれもメッシュ数と時間ステップに線形に比例します。2Dと3Dの場合、タイムステップが異なる以外は総伝搬時間は同じになるはずです。FDTDのタイムステップの大きさは次のように定義されます：
簡単かつ公平に比較するために、構造体の物理的な寸法を毎回変更する代わりに、単純にメッシュサイズを変更します。すべての空間方向で等しく均一なメッシュサイズを設定しました。
図4はメッシュサイズの関数として、计算時間とメモリの比较结果を示しています。
図4. 计算機資源の直接比較：计算時間(左)、计算メモリ(右)
2次元のラジアル计算が3次元のフル计算より数段速いことは明らかです。また、必要なメモリ量も数桁少なくなっています。この差はより大きな構造でより顕著に現れるでしょう。
準対称性構造(Quasi-Symmetric Structures)
ラジアル计算は円筒対称構造に対してのみ有効ですが、円筒状の準対称構造を持つ構造、特に実際の3次元解が事実上不可能な場合にも、迅速な推定を行うことが可能です。
LEDの発光効率を高めるためのフォトニック结晶(PhC)構造は、その一例です。
図5. フォトニック结晶構造を用いたLEDの模式図
上記5[4]の構造の場合、PhC構造は水平方向にバンドギャップを作るため、活性層で発生した光は垂直方向に発光する以外に行き場がなくなります。 したがって、PhCはブラッググレーティングのように振る舞い、迅速な计算のために以下の図6に示すように、円形ブラッググレーティングで近似することができます。
図6. PhC構造の円形ブラッググレーティングへの近似
この近似を検証するために、RSoft FullWAVEを用いて、2Dラジアルとフル3Dの両方でFDTDシミュレーションを行い、シミュレーション結果を以下の図7に示しました。
図7. PhC構造に対する2次元ラジアル计算の検証
计算結果は、2Dラジアル计算がフル3D计算の非常に良い近似であることを示す一方、前節で観察したように、コンピュータリソースの節約は多大なものであることがわかります。
念のため単純な2Dシミュレーションも行ってみましたが、2次元计算では構造が1次元の直線上のグレーティングになってしまい、構造が全く変わってしまうため、結果は大きく異なっています。
まとめ
RSoft Photonic Device Toolsのラジアル计算は、円筒対称の構造をシミュレーションするための効率的で正確な方法を提供します。计算時間とメモリの両方において、コンピュータリソースを大幅に節約することができます。また、完全な3D シミュレーションでは事実上不可能な、より大きな構造をシミュレーションすることも可能です。
円筒対称構造だけでなく、半径方向の计算は準対称構造にも適用でき、ある程度の誤差はあるものの、迅速に推定することができます。
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参考文献
[1] Banerji, S., Meem, M., Majumder, A., Vasquez, F. G., Sensale-Rodriguez, B., & Menon, R. (2019). Imaging with flat optics: metalenses or diffractive lenses. Optica, 6(6), 805-810.
[2] Kotlyar, Victor V., and Alexey A. Kovalev. "Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization." JOSA A 27.3 (2010): 372-380.
[3] Yuan, G. H., S. B. Wei, and X-C. Yuan. "Nondiffracting transversally polarized beam." Optics Letters 36.17 (2011): 3479-3481.
[4] Barton, Daniel L., and Arthur J. Fischer. "Photonic crystals improve LED efficiency." SPIE Newsroom 10.1200603 (2006): 0160.