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第1回：単レンズの设计

連載シリーズ：レンズ设计と最適化技術

着者：

日本シノプシス合同会社

アプリケーションエンジニアリングシニアマネージャー

大竹基之

公开日：2023年6月28日

はじめに

今回からカメラレンズの设计テクニックを紹介するブログコンテンツ『レンズ设计と最適化技術』を始めたいと思います。

初めに僕自身の自己紹介をさせて頂きます。学生時代は上智大学理工学部物理学科に在籍し、石川和枝先生と龍岡静夫先生の下で幾何光学を中心に学びました。そして、1990年から2021年までカメラレンズを中心に光学设计を行ってきました。CODE Vとの出会いは1991年のことで、それ以降のすべての光学设计はCODE Vで進めてきました。その中で得られた収差補正の考え方や设计を進める上での技術をこのブログ連載を通して書かせて頂きたいと思います。

おそらく多くの方が思い通りに进まないという壁を打ち破ることに苦戦されていると思いますので、このブログを通して、そうした壁を乗り越える方法を见つけて下さったら幸いと思っています。

ですが、中にはこれから光学设计を始めるという方もいらっしゃるかもしれませんので、第1回目となる今回は収差が発生する理由について書いていきたいと思います。強い曲率を持った屈折面ほど収差が大きくなることは皆さんご存知の通りです。しかし、曲率の強さと収差との関係性はあまり知られていないかもしれません。今回は単レンズの収差に注目して書いていきたいと思います。

1．収差

収差は屈折によって起こります。屈折作用はスネルの法則 n?sinθ = n'?sinθ'に従っています。ここで、θは入射角、θ'は屈折角、nは入射側媒質の屈折率、n'は屈折側媒質の屈折率となります。この時、sinθ≈θとsinθ'≈θ'で近似できる場合は近軸領域と呼ばれます。そして、この場合は収差が発生しません。この領域は光軸から近い、非常に狭い領域に限られます。ですから、一般的には収差が発生します。そして、入射角θが大きくなるほど収差が大きくなります。光学设计の観点からは、いかに入射角θを小さくするかが収差を低減するカギになります。

そこで、収差を低减させる上でのアプローチを説明します。

例として、焦点距离100㎜、口径比贵4の2つの単レンズを示します。平凸形状のレンズとして、第1面が绞り面、第2面が凸面、第3面が平面とします。そして、主波长を诲线(波长:587.6苍尘)とします。ここで例1はガラス材料を叠厂颁7(苍诲=1.51680)、例２はガラス材料を罢础颁6(苍诲=1.755)とします。表1と表2はそれぞれ例1と例2のレンズデータを示しています。ここで、焦点距离100㎜に対する第2面の曲率半径は例1が51.6798に対して、例2が75.5となります。

更に、図1は例1の断面図、図2は例1の収差図(左から球面収差、像面湾曲、歪曲収差)を示します。これに対して、図3は例2の断面図、図4は例2の収差図を示します。この2つの収差図を見て頂きますと、光軸から遠ざかる明るい光線ほど球面収差量が増えることが分かります。そして、F4での球面収差量は例1が-1.71mmに対して、例2が-0.95mmと屈折率が上がりますと、曲率半径が緩まることで球面収差が減ることが分かります。一方で、最大像高(21.63mm)までの像面湾曲量は、例1が-7.76mm(M), -3.66(S)に対して、例2が-7.56mm(M), -3.43mm(S)ですから、ほとんど変化していません。これは、绞り面(第1面)が第2面と重なっているために高さが0で、入射角θが2つの例1と例2でほぼ同じだからです。媒質の屈折率が異なるために若干の収差量の違いになっています。なお、レンズから絞りまでの距離を変えますと、像面湾曲量が変化します。

(例1) 100mm F4 (BSC7) (最大像高21.63mm)

面	曲率半径摆尘尘闭	面间隔摆尘尘闭	ガラス
物体面	∞	无限远	(air)
绞り面	∞	0	(air)
2	51.6798	10	BSC7_HOYA
3	∞	93.4071	(air)
像面	∞	0	(air)

表1：例1のレンズデータ

図1：例1のレンズ断面図

図2：例1の縦収差図

(例2) 100mm F4(TAC6) (最大像高21.63mm)

面	曲率半径摆尘尘闭	面间隔摆尘尘闭	ガラス
物体面	∞	无限远	(air)
绞り面	∞	0	(air)
2	75.5	10	TAC6_HOYA
3	∞	94.302	(air)
像面	∞	0	(air)

表2：例2のレンズデータ

図3：例2のレンズ断面図

図4：例2の縦収差図

2. ベンディング

ベンディングとは焦点距离を保ったまま、形状を変えることです。ここでは例2で第3面の曲率半径を平面から凸面や凹面に変えていった时の第2面の曲率半径とその时の球面収差量を表3に整理してみました。この表3から分かりますように、平面から若干の凹面にした时に球面収差量がもっともゼロに近づいて、凸面に强まったり、あるいは凹面が强まりますと、负の球面収差が増大することが分かります。

第2面の曲率半径搁2	第3面の曲率半径搁3	球面収差量
44.87065	100	-2.13605
58.98555	250	-1.11339
66.15950	500	-0.97705
75.50000	Inf.	-0.95433
88.16300	-500	-1.05281
106.30480	-250	-1.28067
294.90600	-100	-2.83328

表3：例2の曲率半径搁2と搁3を変更した时の球面収差量の変化

今回は絞りが第2面と同じ位置に置かれているために、ベンディング形状を変えた際に像面湾曲はほとんど変化しません。ですが、例えば、絞りと第2面との距離が離れた状態ですと、球面収差と像面湾曲の変化に違いが生まれます。特に、绞り面の物体側にレンズが置かれる場合と像面側に置かれる場合では、傾向に違いが生じます。

3. 軸上色収差

屈折率が上がると発生する负の球面収差は减る倾向となります。ですが、屈折率が高くなりますと、アッベ数が小さくなるため、轴上色収差が増大する倾向です。これは図５に示しますガラスマップの通りです。ここで、先に挙げました例1と例2の収差図に色収差を加えて描いたものが図6と図7です。

なお、ガラスマップの説明は今回の最后に付けますので、そちらをご覧ください。

図5：ガラスマップ (縦軸：屈折率、横軸：アッベ数)

図6：例1の色収差図&苍产蝉辫;

図7：例2の色収差図

4. 今回のまとめ

収差は屈折率に関係します。
球面収差はベンディングによって変化します。
轴上色収差は、高屈折率ガラスほどアッベ数が小さくなるため、増加する倾向があります。

付録：光学ガラスについて

ガラスマップは一般的に縦轴に屈折率、横轴にアッベ数で示されます。そして、どの会社のガラスマップも必ず縦线や横线、そして斜め线で区分けしています。この区分けは様々な意味がありますので、少し绍介させてください。

光学ガラスは様々な材料が混ぜ合わされています

ガラスは透明ですが、実际は様々な材料が混ぜ合わされています。二酸化ケイ素が主成分ですが、二酸化ケイ素だけの场合、融点が1600度以上と高く、耐热性が高い设备が必要となります。このため、他の成分を加えることで融点を下げる取组みが行われて来ました。その中で、加える材料によって、ガラスの组成が大きく2つに分けられました。1つは、クラウンガラスと呼ばれる低分散ガラス(アッベ数が大きい)です。もう1つは、フリントガラスと呼ばれる高分散ガラス(アッベ数が小さい)です。

クラウンガラスはホウケイ酸ガラスとソーダ石灰ガラスを軸に発展し、フリントガラスはクラウンガラスに酸化鉛を加える形で発展しました。この時、ソーダ石灰ガラスはドイツ語で"Kalknatronglas"となるため(ソーダ石灰)クラウンK、ホウケイ酸ガラスはドイツ語のホウ素"Bor"を含むクラウンということでホウケイ酸クラウンBKと呼ばれることになりました。また、クラウンガラスは酸化鉛を加える量に応じて、クラウンフリントKF(Kron Flint)、軽々フリントLLF(Leicht Leicht Flint)、軽フリントLF(Leicht Flint)、フリントF(Flint)が作られました。これらの区分はアッベ数によるものになっています。

図８は旧ガラスの范囲を示しています。现在のガラスと比べて、屈折率もアッベ数も非常に限られていたことが分かります。

このように様々な材料を加えることは単结晶の材料と异なる特性を生み出しています。それはガラスを构成する材料が有する固有振动数を持っているため、混ぜる种类が増えますと固有振动数も増えるため、紫外线领域で特定波长の光を吸収します。つまり、紫外线が透过しなくなります。特に光が强まりますと、ガラス材料が壊れてしまうことにつながります。

　図8：ガラスマップ (旧ガラス)

光学ガラスの発展が光学设计の自由度を増してきました

旧ガラスに対して、より高い屈折率の材料、あるいは分散がより低い、より高い材料を目指して、様々な材料が组み合わされてきました。

フリントガラスで酸化鉛をより多くすることで、アッベ数が小さくなり、分散が大きくなる重フリントSF(Schwer Flint)が生まれました。これとは逆に、アッベ数を大きくして、分散を小さくする取組みとして、フッ素系材料を加えましたフッ化クラウンFK(Fluorid Kron)やリン酸塩を加えましたリン酸塩ガラスPK(Phosphat Kron)やリン酸塩重ガラスPK(Phosphat Schwer Kron)が知られています。

屈折率を高める動きとしましては、酸化バリウム(BaO)を加えることで屈折率を高めたバリウムクラウンBAK(Barium Kron)、バリウム軽クラウンBALF(Barium Leicht Flint)、バリウムフリントBAF(Barium Flint)、バリウム重フリントBASF(Barium Schwer Flint)、重クラウンSK(Schwer Kron)、重々クラウンSSK(Schwer Schwer Kron)が知られています。更に、酸化ランタン(La2O3)を加えたランタンクラウン(LAK)、ランタンフリント(LAF)、ランタン重フリント(LASF)はより屈折率が高くなっています。

こうした新しい光学ガラスは光学设计の自由度を高めてきました。例えば、低分散や高分散のガラスは色収差が補正しやすいです。このためより長い焦点距離のレンズを生み出しました。また、高い屈折率のガラスは広角レンズを生み出しました。そして、両方を組合わせることで、大口径比レンズを生み出しました。

こうした背景は各名称毎での特性につながるため、时に注意すべきガラスもあります。

例えば、重フリント厂贵は、酸化铅の影响で近紫外领域での透过率が低下して、黄色いガラスになっています。写真レンズや顕微镜等として使う场合には青の透过率が低下するために、色再现性が课题になることもあります。また、ソーダ石灰ガラスは炭酸ナトリウムと炭酸カルシウムを含んでいます。炭酸ナトリウムを含む场合、化学的耐久性、特に耐水性の低下を引き起こしました。これはガラスを濡らしたままにすると表面が侵食されて水滴の跡が白く残る(白ヤケ)を起こしました。现在は重クラウン厂碍やランランクラウン尝础碍の一部ガラスで耐水性が悪いケースがあります理由はここにあります。

今は名前が残るだけかもしれません

1990年代は铅を含む场合に环境へ与える影响が悬念され、酸化铅の使用が规制されました。このため、各社ガラスメーカーでは代替え材料への移行が进みました。また、より高い屈折率材料を作るために、ランタンに加えてタンタルが使われています。更に、ランタンやタンタルの価格高腾により、他の材料を加えているケースも増えています。ですから、现在はガラス名称は名前だけで、ガラスの特性とは関係ないケースが増えています。